Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱CC₁的长为1，AC⊥BC，∠ACC₁=60°，∠BCC₁=45°，则该三棱柱的高等于

1

2

．

Answer 1

分析：过C₁作面ACB、线BC、AC的垂线，交点分别为O，D，E，连接OD、OC、OE，推出四边形OECD为矩形，求出OC，然后求出该三棱柱的高．

解答：解：过C₁作面ACB、线BC、AC的垂线，交点分别为O，D，E，连接OD、OC、OE，
则C₁O即为三棱柱的高
由三垂线定理可知OE⊥AC，OD⊥BE，又因为AC⊥BC，所以四边形OECD为矩形．
在直角三角形ECC₁和DCC₁中，
∵∠ACC₁=60°，∠BCC₁=45°，侧棱CC₁的长为1，
则CE=

1

2

CC₁=

1

2

，CD=

2

2

在直角三角形OCD中，由勾股定理得 OC=

3

2

，
在直角三角形COC₁中0C₁=

CC 2 1 -OC 2

=

1

2

故答案为：

1

2

点评：本题考查棱柱的结构特征，考查作图和计算能力，是基础题．