Question

已知函数f(x)=e^-ax.

(Ⅰ)设a＞0，讨论y=f(x)的单调性；

(Ⅱ)若对任意x∈(0,1)恒有f(x)＞1,求a的取值范围.

Answer 1

解:(Ⅰ)f′(x)=e^-ax+e^-ax·(-a)·

=e^-ax-ae^-ax·=e^-ax·

=e^-ax·.

    当0＜a≤2时，f′(x)＞0;

    当a＞2时，令f′（x）=0得x=±.

    当x∈(-∞,-),f′(x)＞0;x∈(-,),f′(x)＜0;

    当x∈(,1),f′(x)＞0;

    x∈(1,+∞),f′(x)＞0.

    综上，当0＜Q≤2时f(x)的单调增区间（-∞,1）、（1，+∞）；

    当a＞2时f(x)的单调增区间（-∞，-）·(,1),(1,+∞),单调减区间（-,）.

(Ⅱ)由（Ⅰ）知当0＜a≤2时，x∈(0,1)时，f(x)单调递增，f(x)＞f(0)=1成立.

    当a＞2时，x∈(0,),f(x)单调递减；x∈(,1)f(x)单调递增，f()＜f(0)=1,f(x)＞1不恒成立.

    当a≤0时，f′(x)=e^-ax·＞0,f(x)在（0，1）上增.

∴f(x)＞f(0)=1.

    综上，Q∈(-∞,2］.