题目内容

过抛物线y=8x²的焦点作直线交抛物线于A，B两点，线段AB的中点M的纵坐标为2，则线段AB的长为________．

$\text{[math]}$
分析：求出准线方程为 y=- $\text{[math]}$ ，由抛物线的定义可得 AB=AA′+BB′，再由线段AB的中点M的纵坐标为2可得 2MM′=AA′+BB′，由此求得线段AB的长．
解答：抛物线y=8x²即 x²= $\text{[math]}$ y，∴p= $\text{[math]}$ ．
设A、B、M到准线y=- $\text{[math]}$ 的距离分别为A′、B′、M′，则由抛物线的定义可得 AB=AA′+BB′．
再由线段AB的中点M的纵坐标为2可得 2MM′=AA′+BB′，即 2（2+ $\text{[math]}$ ）=AA′+BB′=AB，
∴AB= $\text{[math]}$ ，
故答案为 $\text{[math]}$ ．
点评：本题主要考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，属于中档题．