题目内容

若椭圆的对称轴在坐标轴，两焦点与两短轴的端点恰好是正方形的四个顶点，且焦点到同侧长轴端点距离为 $数学公式$ ．
（1）求椭圆方程；
（2）求椭圆离心率．

解：（1）因为椭圆的对称轴在坐标轴，两焦点与两短轴的端点恰好是正方形的四个顶点，
所以b=c，a= $\text{[math]}$ b，又焦点到同侧长轴端点距离为 $\text{[math]}$ ，
即a-c= $\text{[math]}$ ，即a-b= $\text{[math]}$ ，解得a= $\text{[math]}$ ，b=c=1，
所以椭圆的方程为： $\text{[math]}$ ；
（2）由（1）可知a= $\text{[math]}$ ，b=c=1，所以椭圆的离心率为： $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
分析：（1）由题意推出椭圆的关系，b=c，利用焦点到同侧长轴端点距离为 $\text{[math]}$ ，
（2）通过椭圆方程，求出椭圆的离心率．
点评：本题考查椭圆的方程的求法，椭圆的基本性质，离心率的求法，考查计算能力．

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（1）若椭圆的中心为坐标原点，焦点在轴上，且焦距为，长轴顶点和短轴顶点间的距离为2. 求该椭圆的标准方程. 并求出当时，其两个焦点、经变换公式变换后得到的点和的坐标；

（2）当时，求（1）中的椭圆在变换下的所有不动点的坐标；

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（1）若椭圆的中心为坐标原点，焦点在轴上，且焦距为，长轴顶点和短轴顶点间的距离为2. 求该椭圆的标准方程. 并求出当时，其两个焦点、经变换公式变换后得到的点和的坐标；

（2）当时，求（1）中的椭圆在变换下的所有不动点的坐标；

（3）试探究：中心为坐标原点、对称轴为坐标轴的双曲线在变换

：（，）下的不动点的存在情况和个数.

（本题满分18分，其中第1小题6分，第2小题4分，第3小题8分）

现有变换公式：可把平面直角坐标系上的一点变换到这一平面上的一点.

（1）若椭圆的中心为坐标原点，焦点在轴上，且焦距为，长轴顶点和短轴顶点间的距离为2. 求该椭圆的标准方程，并求出其两个焦点、经变换公式变换后得到的点和的坐标；

（2）若曲线上一点经变换公式变换后得到的点与点重合，则称点是曲线在变换下的不动点. 求（1）中的椭圆在变换下的所有不动点的坐标；

（3）在（2）的基础上，试探究：中心为坐标原点、对称轴为坐标轴的椭圆和双曲线在变换下的不动点的存在情况和个数.