Question

（2013•南充三模）P点在椭圆

x2

4

+

y2

3

=1上运动，Q，R分别在两圆（x+1）²+y²=1和（x-1）²+y²=1上运动，则|PQ|+|PR|的最大值为

6

．

Answer 1

分析：确定椭圆焦点F₁（-1，0），F₂（1，0）恰为两圆（x+1）²+y²=1和（x-1）²+y²=1的圆心，利用椭圆的定义，即可得出结论．

解答：解：∵椭圆

x2

4

+

y2

3

=1中，c²=4-3=1，
∴椭圆

x2

4

+

y2

3

=1两焦点F₁（-1，0），F₂（1，0）恰为两圆（x+1）²+y²=1和（x-1）²+y²=1的圆心，
e=

c

a

=

1

2

，准线x=±

a2

c

=±4，
过P点作x轴平行线，分别交两准线于A，B两点，
连接PF₁，PF₂，并延长，分别交两圆于Q′，R′，
则|PQ|+|PR|≤|PQ′|+|PR′|=|PF₁|+1+|PF₂|+1=e|PA|+e|PB|+2=e|AB|+2
=

1

2

×8+2=6．
故答案为：6

点评：本题考查椭圆和圆的简单性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．