Question

已知f（x）为一次函数，f[f（1）]=-1，f（x）的图象关于直线x-y=0的对称的图象为C，若点在曲线C上，并有a₁=1，．
（1 ） 求f（x）的解析式及曲线C的方程；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）设，对于一切n∈N^*，都有S_n＞m成立，求自然数m的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）设f（x）=kx+b（k≠0），所以f[f（1）]=k²+kb+b=-1．因为f（x）的图象关于直线x-y=0的对称为C，所以曲线C为：f^-1（x）=，故f^-1（n）-f^-1（n-1）=．由此能够推导出f（x）的解析式及曲线C的方程．
（2）由f^-1（n）=，知=n+1，由此能够求出数列{a_n}的通项公式．
（3）由===-，知S_n=+++…+=（-）+（-）+…+（-）=-．由此能够求出自然数m的最大值0．
解答：解：（1）设f（x）=kx+b（k≠0），
∴f[f（1）]=k²+kb+b=-1．①
因为f（x）的图象关于直线x-y=0的对称为C，
∴曲线C为：f^-1（x）=，
∴f^-1（n）=，
f^-1（n-1）=，
f^-1（n）-f^-1（n-1）=．
又点（n，）（n∈N^*）在曲线C上，
∴f^-1（n）=②
f^-1（n-1）=，
∴f^-1（n）-f^-1（n-1）=-=1，
∴k=1，b=-1．
∴f（x）=x-1，
曲线C：y=x+1
（2）由②f^-1（n）=，
∴=n+1，
∴••…••=n（n-1）…3•2=n!
∵a₁=1，
∴a_n=n!
（3）∵===-
∴S_n=+++…+=（-）+（-）+…+（-）=-
∵0＜≤，≤-＜，
∴S_n的最小值为．
∴m＜，因而自然数m的最大值是0．
点评：本题考查数列与函数据综合，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．