Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n=a［2-(12)^n-1］-b［2-(n+1)(12)^n-1］(n=1,2,…),其中a、b是非零常数,则存在数列{x_n}、{y_n}使得(    )

A.a_n=x_n+y_n,其中{x_n}为等差数列,{y_n}为等比数列

B.a_n=x_n+y_n,其中{x_n}和{y_n}都为等差数列

C.a_n=x_n·y_n,其中{x_n}为等差数列,{y_n}为等比数列

D.a_n=x_n·y_n,其中{x_n}和{y_n}都为等比数列

Answer 1

C

解法一：当n=1时,a₁=S₁=a,

当n≥2时,a_n=S_n-S_n-1

=a［2-()^n-1］-b［2-(n+1)() ^n-1］-a［2-() ^n-2］+b［2-n() ^n-2］

=a()^n-1+b［() ^n-1-n() ^n-1］

=［a-(n-1)b］() ^n-1,

∴a_n=［a-(n-1)b］()^n-1(n∈N^*)

解法二：（逻辑分析法）从等差、等比数列的前n项和的代数结构进行分析.公差为0的等差数列,公比为1的等比数列的前n项都是n的一次函数.除此以外,等差数列的前n项和是二次函数,等比数列的前n项和是q^n-1的形式.而等差加等差是等差,等比乘等比是等比,故只有C选项符合要求.