Question

已知函数f（x）=

1

2

x²+

3

2

x，数列{a_n}的前n项和为S_n，点（n，S_n）（n∈N^*）均在函数f（x）的图象上．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）令cn=

an

an+1

+

an+1

an

证明：2n＜c₁+c₂+…+c_n＜2n+

1

2

．

Answer 1

分析：（1）点（n，S_n）均在函数y=f（x）的图象上，则s_n=

1

2

n²+

3

2

n，可得a_n=S_n-S_n-1=n+1，并验证a₁即可；
（2）证明：由c_n=

n+1

n+2

+

n+2

n+1

＞2，得c₁+c₂+…+c_n＞2n；由c_n=

n+1

n+2

+

n+2

n+1

=2+

1

n+1

-

1

n+2

，得c₁+c₂+…+c_n=2n+（

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n+1

-

1

n+2

）=2n+

1

2

-

1

n+2

＜2n+

1

2

；即证．

解答：解：（1）∵点（n，S_n）均在函数y=f（x）的图象上，
∴Sn=

1

2

n2+

3

2

n，当n=1时，a1=S1=2，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n+1，a₁也适合，所以a_n=n+1（n∈N^*）．
（2）证明：∵cn=

an

an+1

+

an+1

an

=

n+1

n+2

+

n+2

n+1

＞2，∴c₁+c₂+…+c_n＞2n；
又c_n=

n+1

n+2

+

n+2

n+1

=2+

1

n+1

-

1

n+2

，∴c₁+c₂+…+c_n=2n+（

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n+1

-

1

n+2

）=2n+

1

2

-

1

n+2

＜2n+

1

2

；
∴2n＜c₁+c₂+…+c_n＜2n+

1

2

．

点评：本题考查了数列与函数的综合应用问题，解题时运用了数列的前n项和求通项公式，应用基本不等式，拆项法等证明不等式成立，属于中档题．