Question

已知函数f（x）=lg（a^x-b^x），a＞1＞b＞0
（1）求f（x）的定义域；
（2）在函数f（x）的图象上是否存在不同的两点，使过这两点的直线平行于x轴；
（3）当a，b满足什么条件时，f（x）在（1，+∞）上恒取正值．

Answer 1

分析：（1）由对数函数的真数大于零求解．
（2）当函数在定义域上单调时，则不存在，当函数在定义域上不单调时，则存在，所以要证明函数是否单调，可用定义法，也可用导数法研究．
（3）由“f（x）在（1，+∞）上恒取正值”则需函数的最小值非负即可，由（2）可知是增函数，所以只要f（1）≥0即可．

解答：解：（1）由a^x-b^x＞0得(

a

b

)x＞1=(

a

b

)0，
由于(

a

b

)＞1所以x＞0，
即f（x）的定义域为（0，+∞）
（2）任取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂
f(x1)=lg(ax1-bx1)，f(x2)=lg(ax2-bx2)(ax1-bx1)-(ax2-bx2)=(ax1-ax2)+(bx2-bx1)
∵a＞1＞b＞0，
∴y=a^x在R上为增函数，y=b^x在R上为减函数，
∴ax1-ax2＜0，bx2-bx1＜0
∴(ax1-bx1)-(ax2-bx2)＜0，即(ax1-bx1)＜(ax2-bx2)
又∵y=lgx在（0，+∞）上为增函数，
∴f（x₁）＜f（x₂）
∴f（x）在（0，+∞）上为增函数．
所以任取x₁≠x₂则必有y₁≠y₂故函函数f（x）的图象L不存在不同的两点使过两点的直线平行于x轴．
（3）因为f（x）是增函数，所以当x∈（1，+∞）时，f（x）＞f（1），
这样只需f（1）=lg（a-b）≥0，
即当a-b≥1时，f（x）在（1，+∞）上恒取正值．

点评：本题主要考查函数的定义域，单调性及最值，这是常考常新的类型，在转化问题和灵活运用知识，方法方法要求较高．