题目内容

三次函数，当x=1时取极大值4，当x=3时取极小值0，且函数图象过原点，求的解析式，并求在［-1,4］上的值域.

      

解析：∵函数图象过原点，∴可设=ax3+bx2+cx.?

       ∴f′(x)=3ax2+2bx+c.?

       ∴在x=1,x=3处取极值.?

       ∴x=1,x=3为f′(x)=0的两根.?

       ∴1+3=,1×3=.?

       又f(1)=4,可解得a=1,b=-6,c=9, =x3-6x2+9x.?

       ∴f(-1)=-16,f(4)=4.?

       在［-1,4］上的值域为［-16,4］.

练习册系列答案
相关题目
已知三次函数f（x）=ax3+bx2+cx（a，b，c∈R）．
（Ⅰ）若函数f（x）过点（-1，2）且在点（1，f（1））处的切线方程为y+2=0，求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若对于区间[-3，2]上任意两个自变量的值x1，x2都有|f（x1）-f（x2）|≤t，求实数t的最小值；
（Ⅲ）当-1≤x≤1时，|f′（x）|≤1，试求a的最大值，并求a取得最大值时f（x）的表达式．
给出以下四个命题：
①若f（-2）≠f（2），则f（x）不是偶函数；
②当n∈{0，1}时，幂函数y=xn的图象是一条直线；
③命题“若a≠0且b≠0，则ab≠0”的逆否命题；
④三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d有极值的充要条件是b2-3ac≥0．
则其中所有正确命题的序号是
①③
①③
．
已知三次函数f（x）=ax3-5x2+cx+d（a≠0）图象上点（1，8）处的切线经过点（3，0），并且f（x）在x=3处有极值．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若当x∈（0，m）时，f（x）＞0恒成立，求实数m的取值范围．
三次函数f（x）=x3+ax2+bx+c的图象如图所示，直线BD∥AC，且直线BD与函数图象切于点B，交于点D，直线AC与函数图象切于点C，交于点A．
（1）若函数f（x）为奇函数且过点（1，-3），当x＜0时求
f(x)+8xx2
的最大值；
（2）若函数在x=1处取得极值-2，试用c表示a和b，并求f（x）的单调递减区间；
（3）设点A、B、C、D的横坐标分别为xA，xB，xC，xD求证    （xA-xB）：（xB-xC）：（xC-xD）=1：2：1．

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