Question

设f（i，k）=i•2^（k-1）（i∈N^*，k∈N^*），如f（2，3）=2×2^（3-1）=8．对于正整数m，n，当m≥2，n≥2时，设g（i，n）=f（2⁰，n）+f（2¹，n）+…+f（2ⁱ，n ），S（m，n）=

m

i=1

（-1）ⁱg（i，n），则S（4，6）=

640

．

Answer 1

分析：直接由新定义求出g（i，n），代入和式后取m=4，n=6进行计算．

解答：解：由f（i，k）=i•2^（k-1），
得g（i，n）=f（2⁰，n）+f（2¹，n）+…+f（2ⁱ，n ）
=2⁰×2^n-1+2¹×2^n-1+2²×2^n-1+…+2ⁱ×2^n-1
=（1+2+2²+…+2ⁱ）•2^n-1
=

1×(1-2i+1)

1-2

•2n-1
=（2ⁱ⁺¹-1）•2^n-1．
又S（m，n）=

m

i=1

（-1）ⁱg（i，n），
∴S（4，6）=（-1）¹•（2²-1）•2⁵+（-1）²•（2³-1）•2⁵+（-1）³•（2⁴-1）•2⁵+（-1）⁴•（2⁵-1）•2⁵
=（-3+7-15+31）×32=640．
故答案为：640．

点评：本题是新定义题，考查了简单的演绎推理，训练了等比数列的求和公式，关键是读懂题意，是中档题．