Question

在棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点O为底面ABCD的中心，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁内随机取一点P，则点P到点O距离大于1的概率为

1-

π

12

．

Answer 1

分析：本题是几何概型问题，欲求点P与点O距离大于1的概率，先由与点O距离等于1的点的轨迹是一个半球面，求出其体积，再根据几何概型概率公式结合正方体的体积的方法易求解．

解答：解：本题是几何概型问题，
与点O距离等于1的点的轨迹是一个半球面，
其体积为：V₁=

1

2

×

4

3

π×1³=

2π

3

“点P与点O距离大于1的概率”事件对应的区域体积为2³-

2π

3

，
则点P与点O距离大于1的概率是

23- 2π 3

23

=1-

π

12

．
故答案为：1-

π

12

．

点评：本题考查几何概型的计算，关键在于掌握正方体的结构特征与正方体、球的体积公式．