题目内容
给定整数n≥2，设M0（x0，y0）是抛物线y2=nx-1与直线y=x的一个交点．试证明对任意正整数m，必存在整数k≥2，使（
）为抛物线y2=kx-1与直线y=x的一个交点．
| x | m 0 |
| ，y | m 0 |
分析：先求抛物线y2=nx-1与直线y=x的交点，证明n≥2，再设（
，
）为抛物线y2=kx-1与直线y=x的一个交点，证明k=
+
，满足k≥2，即可证得结论．
| x | m 0 |
| y | m 0 |
| x | m 0 |
| 1 | ||
|
解答：证明：y2=nx-1与y=x联立，可得x2-nx+1=0，∴x=
∴x0=y0=
．
∴x0+
=n≥2．…（5分）
若（
，
）为抛物线y2=kx-1与直线y=x的一个交点，则k=
+
．…（10分）
记km=
+
，由于k1=n是整数，k2=
+
=（x0+
）2-2=n2-2也是整数，
且km+1=km（x0+
）-km-1=nkm-km-1，（m≥2）①
所以对于一切正整数m，km=
+
是正整数，且km≥2现在对于任意正整数m，
取k=
+
，满足k≥2，且使得y2=kx-1与y=x的交点为（
，
）．…（12分）
n±
| ||
| 2 |
∴x0=y0=
n±
| ||
| 2 |
∴x0+
| 1 |
| x0 |
若（
| x | m 0 |
| y | m 0 |
| x | m 0 |
| 1 | ||
|
记km=
| x | m 0 |
| 1 | ||
|
| x | 2 0 |
| 1 | ||
|
| 1 |
| x0 |
且km+1=km（x0+
| 1 |
| x0 |
所以对于一切正整数m，km=
| x | m 0 |
| 1 | ||
|
取k=
| x | m 0 |
| 1 | ||
|
| x | m 0 |
| y | m 0 |
点评：本题考查直线与抛物线的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，考查基本不等式的运用，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
）为抛物线y2=kx-1与直线y=x的一个交点．
）为抛物线y2=kx-1与直线y=x的一个交点．