Question

抛物线y=x²上的一动点M到直线l：x-y-1=0距离的最小值是（　　）

• A．

  3 2

  8

• B．

  3

  8

• C．

  3

  4

• D．

  3 2

  4

Answer 1

分析：（法一）对y=x²求导可求与直线x-y-1=0平行且与抛物线y=x²相切的切线方程，然后利用两平行线的距离公司可得所求的最小距离d
（法二）设抛物线上的任意一点M（m，m²），由点到直线的距离公司可求M到直线x-y-1=0的距离d=

|m-m2-1|

2

=

|m2-m+1|

2

=

|(m- 1 2 )2+ 3 4 |

2

，由二次函数的性质可求M到直线x-y-1=0的最小距离

解答：解：（法一）对y=x²求导可得y′=2x
令y′=2x=1可得x=

1

2

∴与直线x-y-1=0平行且与抛物线y=x²相切的切点（

1

2

，

1

4

），切线方程为y-

1

4

=x-

1

2

即x-y-

1

4

=0
由两平行线的距离公式可得所求的最小距离d=

|- 1 4 +1|

2

=

3 2

8

（法二）设抛物线上的任意一点M（m，m²）
M到直线x-y-1=0的距离d=

|m-m2-1|

2

=

|m2-m+1|

2

=

|(m- 1 2 )2+ 3 4 |

2

由二次函数的性质可知，当m=

1

2

时，最小距离d=

3

4 2

=

3 2

8

故选A

点评：本题考查直线的抛物线的位置关系的应用，解题时要注意公式的灵活运用，抛物线的基本性质和点到线的距离公式的应用，考查综合运用能力