Question

在边长为60cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起（如图），做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？

Answer 1

分析：先设箱底边长为xcm，则箱高h=

60-x

2

cm，得箱子容积，再利用导数的方法解决，应注意函数的定义域．

解答：解：设箱底边长为xcm，则箱高h=

60-x

2

cm，得箱子容积V(x)=x2h=

60x2-x3

2

（0＜x＜60）．
V′(x)=60x-

3x2

2

（0＜x＜60）
令    V′(x)=60x-

3x2

2

=0，
解得  x=0（舍去），x=40，
并求得V（40）=16 000
由题意可知，当x过小（接近0）或过大（接近60）时，箱子容积很小，因此，16 000是最大值
答：当x=40cm时，箱子容积最大，最大容积是16 000cm³

点评：（1）解有关函数最大值、最小值的实际问题，需要分析问题中各个变量之间的关系，找出适当的函数关系式，并确定函数的定义区间；所得结果要符合问题的实际意义．（2）根据问题的实际意义来判断函数最值时，如果函数在此区间上只有一个极值点，那么这个极值就是所求最值，不必再与端点值比较．（3）相当多有关最值的实际问题用导数方法解决较简单