Question

已知定义在R上的奇函数f（x）有最小正周期4，且x∈（0，2）时，f（x）=

ex

x

．
（Ⅰ）求f（x）在[-2，2]上的解析式；
（Ⅱ）若|f（x）|≥λ对?x∈R恒成立，求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由f（x）是x∈R上的奇函数，得f（0）=0．再由最小正周期为4，得到（2）和f（-2）的值．然后求（-2，0）上的解析式，通过在（-2，0）上取变量，转化到（0，2）上，即可得到结论．
（Ⅱ）|f（x）|≥λ等价于|f（x）|_min≥λ，由f（x）的最小正周期为4得，问题转化为求x∈[-2，2]时的|f（x）|_min，由（Ⅰ）易求；

解答：解：（Ⅰ） 当-2＜x＜0时，0＜-x＜2，f（-x）=

e-x

-x

=-

1

xex

，
又f（x）为奇函数，
∴f（x）=-f（-x）=

1

xex

；
当x=0时，由f（-0）=-f（0），可得f（0）=0；
∵f（x）有最小正周期4，
∴f（-2）=f（-2+4）=f（2），即-f（2）=f（2），得f（2）=0，
∴f（-2）=f（2）=0；
综上，f（x）=

1 xex ，(-2＜x＜0) 0，(x=0，±2) ex x ，(0＜x＜2)

；
（Ⅱ）|f（x）|≥λ等价于|f（x）|_min≥λ，
∵f（x）的最小正周期为4，
∴只需求x∈[-2，2]时的|f（x）|_min，
由（Ⅰ）可知，x∈[-2，2]时，|f（x）|_min=0，此时，x=0或±2，
∴λ≤0．

点评：本题考查函数解析式的求解及常用方法，考查恒成立问题，考查转化思想，考查学生综合运用知识分析解决问题的能力．