题目内容
如图，l1，l2是通过某市开发区中心0的两条南北和东西走向的道路，连接M、N两地的铁路是一段抛物线弧，它所在的抛物线关于直线L1对称．M到L1、L2的距离分别是2 km、4km，N到L1、L2的距离分别是3km、9km．（1）建立适当的坐标系，求抛物线弧MN的方程．（2）该市拟在点0的正北方向建设一座工厂，考虑到环境问题，要求厂址到点0的距离大于5km而不超过8km，并且铁路上任意一点到工厂的距离不能小于
| 6 |
分析：（1）分别以l1、l2为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则M，N的坐标可知，设MN所在抛物线的方程把M和N代入即可求得a和c，则抛物线方程可得．
（2）设出抛物线上任一点P的坐标，厂址为点A，进而根据两点间的距离公式表示出|PA|，进而根据|PA|的范围求得x和t的不等式关系，令u=x2，进而求得u的范围，推断出对于任意的u∈[4，9]，不等式u2+（1-2t）u+（t2-6）≥0恒成立，设f（u）=u2+（1-2t）u+（t2-6），根据t的范围确定-
的范围，进而利用△≤0求得t的最小值．
（2）设出抛物线上任一点P的坐标，厂址为点A，进而根据两点间的距离公式表示出|PA|，进而根据|PA|的范围求得x和t的不等式关系，令u=x2，进而求得u的范围，推断出对于任意的u∈[4，9]，不等式u2+（1-2t）u+（t2-6）≥0恒成立，设f（u）=u2+（1-2t）u+（t2-6），根据t的范围确定-
| 1-2t |
| 2 |
解答：
解：（1）分别以l1、l2为x轴、y轴建立如图所示的
平面直角坐标系，则M（2，4），N（3，9）
设MN所在抛物线的方程为y=ax2+c，则有
，解得
∴所求方程为y=x2（2≤x≤3）
（2）设抛物线弧上任意一点P（x，x2）（2≤x≤3）
厂址为点A（0，t）（5＜t≤8），由题意得|PA|=
≥
∴x4+（1-2t）x2+（t2-6）≥0
令u=x2，∵2≤x≤3，∴4≤u≤9
∴对于任意的u∈[4，9]，不等式u2+（1-2t）u+（t2-6）≥0恒成立（*）
设f（u）=u2+（1-2t）u+（t2-6），∵5＜t≤8
∴
＜-
≤
．
要使（*）恒成立，需△≤0，即（2t-1）2-4（t2-6）≤0
解得t≥
，∴t的最小值为
所以，该厂距离点O的最近距离为6.25km
解：（1）分别以l1、l2为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则M（2，4），N（3，9）
设MN所在抛物线的方程为y=ax2+c，则有
|
|
∴所求方程为y=x2（2≤x≤3）
（2）设抛物线弧上任意一点P（x，x2）（2≤x≤3）
厂址为点A（0，t）（5＜t≤8），由题意得|PA|=
| x2+(x2-t)2 |
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∴x4+（1-2t）x2+（t2-6）≥0
令u=x2，∵2≤x≤3，∴4≤u≤9
∴对于任意的u∈[4，9]，不等式u2+（1-2t）u+（t2-6）≥0恒成立（*）
设f（u）=u2+（1-2t）u+（t2-6），∵5＜t≤8
∴
| 9 |
| 2 |
| 1-2t |
| 2 |
| 15 |
| 2 |
要使（*）恒成立，需△≤0，即（2t-1）2-4（t2-6）≤0
解得t≥
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| 4 |
| 25 |
| 4 |
所以，该厂距离点O的最近距离为6.25km
点评：本题主要考查了抛物线的应用．考查了学生分析问题和解决实际问题的能力．
练习册系列答案
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如图，l1、l2是通过某城市开发区中心O的两条南北和东西走向的街道，连接M、N两地之间的铁路线是圆心在l2上的一段圆弧．若点M在点O正北方向，且|MO|=3km，点N到l1、l2的距离分别为4km和5km．
，求该校址距点O的最近距离（注：校址视为一个点）．
，求该校址距点O的最近距离（注：校址视为一个点）．
，求该校址距点O的最近距离（注：校址视为一个点）．
，求该校址距点O的最近距离（注：校址视为一个点）．