Question

函数f(x)=

1-x2

x+3

-m有零点的充要条件是______．

Answer 1

∵函数f(x)=

1-x2

x+3

-m有零点，
∴

1-x2

x+3

-m=0有解，
即

1-x2

=m(x-3)有实数解，
∴y=

1-x2

与y=m（x-3）图象有交点
∵函数y=

1-x2

（-1≤x≤1，0≤y≤1），
∴x²+y²=1  （-1≤x≤1，0≤y≤1）
图象为半圆x²+y²=1，（-1≤x≤1，0≤y≤1），
函数y=m（x-3）图象为过A（3，0）的一条直线．
过A（3，0）向半圆x²+y²=1，（-1≤x≤1，0≤y≤1）引切线，切点为Q，
∴OQ⊥AQ∴AQ=2

2

，
∴tan∠OAQ=

OQ

AQ

=

2

4

，
∴k_AQ=-

2

4

，
∴-

2

4

≤m≤0．
故答案为：m∈[0，

2

4

]．