题目内容

求证：2＜（1+ $数学公式$ ）ⁿ＜3（n≥2，n∈N^*）．

证明：（1+ $\text{[math]}$ ）ⁿ=C_n⁰+C_n¹× $\text{[math]}$ +C_n²（ $\text{[math]}$ ）²+…+C_nⁿ（ $\text{[math]}$ ）ⁿ
=1+1+C_n²× $\text{[math]}$ +C_n³× $\text{[math]}$ +…+C_nⁿ× $\text{[math]}$
=2+ $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$
＜2+ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ ＜2+ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$
=2+ $\text{[math]}$ =3-（ $\text{[math]}$ ）^n-1＜3．
显然（1+ $\text{[math]}$ ）ⁿ=1+1+C_n²× $\text{[math]}$ +C_n³× $\text{[math]}$ +…+C_nⁿ× $\text{[math]}$ ＞2．
所以2＜（1+ $\text{[math]}$ ）ⁿ＜3．
分析：由二项式定理知（1+ $\text{[math]}$ ）ⁿ=2+ $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ ＜2+ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ ＜2+ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ =2+ $\text{[math]}$ =3-（ $\text{[math]}$ ）^n-1＜3．且（1+ $\text{[math]}$ ）ⁿ=1+1+C_n²× $\text{[math]}$ +C_n³× $\text{[math]}$ +…+C_nⁿ× $\text{[math]}$ ＞2．由此知2＜（1+ $\text{[math]}$ ）ⁿ＜3．
点评：本题考查不等式的性质和应用，解题时要注意二项式定理和放缩法的合理运用．