Question

若f(x)=sin

π

6

x，则f（1）+f（3）+f（5）+…+f（2011）=

 

．

Answer 1

分析：先利用周期公式求出f（x）的周期，且求出一个周期内所有函数值的和，然后用1007除以求出的周期，看余数为几，求出前几项的和即为所求式子的值．

解答：解：由T=

2π

λ

=

2π

π 6

=12，得到f（x）是以12为周期的函数，
可得：f（1）+f（3）+f（5）+f（7）+f（9）+f（11）=0，
∴f（x）中每连续六项的和等于0，f（x）中共有1007项，
∵1007÷6=167…5，
∴f（x）=f（1）+f（3）+f（5）+f（7）+f（9）
=sin

π

6

+sin

3π

6

+sin

5π

6

+sin

7π

6

+sin

9π

6

=

1

2

+1+

1

2

-

1

2

-1
=

1

2

．
故答案为：

1

2

点评：此题考查了三角函数的周期性及其求法，以及函数的值．求出f（x）的周期且一个周期所有函数值的和是解本题的关键．