Question

如图,在直角梯形ABCD中,∠A=∠D=90°,AB<CD,SD⊥平面ABCD,AB=AD=a,SD=2a.

(1)求证:平面SAB⊥平面SAD;

(2)设SB的中点为M，当为何值时,能使DM⊥MC?请给出证明.

Answer 1

1)证明:∵∠A=90°,∴AB⊥AD.

又SD⊥平面ABCD,AB平面ABCD,

∴SD⊥AB.

∴AB⊥平面SAD.

又平面SAB,

∴平面SAB⊥平面SAD.

(2)解:当时,能使DM⊥MC.

证明:连结BD,

∵∠A=90°,AB=AD=a,

∴BD=2a.

∴SD=BD,∠BDA=45°.

又M为SB中点,

∴DM⊥SB.①

设CD的中点为P,连结BP,

则DP∥AB.且DP=AB.

∴BP∥AD.∴BP⊥CD.

∴BD=BC.

又∠BDC=90°-∠BDA=45°,

∴∠CBD=90°,即BC⊥BD.

又BC⊥SD,∴BC⊥平面SBD.

∴DM⊥BC.②

由①②知DM⊥平面SBC,

∴DM⊥MC,即当时,能使DM⊥MC.

解析:

空间直线和平面