Question

当x≥3时，不等式（ax-4a+1）（x²-x-2）≥0恒成立，则a的范围是

[0，1]

．

Answer 1

分析：当x≥3时，不等式（ax-4a+1）（x²-x-2）≥0恒成立，等价于当x≥3时，不等式ax-4a+1≥0恒成立，分类讨论，分离参数，即可求得a的范围．

解答：解：x≥3时，x²-x-2=（x+1）（x-2）≥4＞0，
∴当x≥3时，不等式（ax-4a+1）（x²-x-2）≥0恒成立，等价于当x≥3时，不等式ax-4a+1≥0恒成立
①3≤x＜4，则ax-4a+1≥0可化为a≤

1

4-x

∵x≥3，∴4-x≤1，∴

1

4-x

≥1，∴a≤1．
②x=4时，ax-4a+1=1＞0，恒成立．
③x＞4时，ax-4a+1≥0，∴a≥

1

4-x

，而此时，

1

4-x

＜0，故a≥0
综上知，0≤a≤1．
故答案为：[0，1]

点评：本题考查不等式恒成立问题，考查分类讨论的数学思想．考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．