Question

已知函数f(x)=

1+x 1-x

+lg(2-2x+x2)的定义域为M，g(x)=

ax

x-1

(a≠0，x∈[2，4])的值域为N．
（1）求M；
（2）若M∩N≠∅，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）通过对数的真数大于0，无理式被开放数不小于0，列出不等式组，求出函数的定义域，即可得到M；
（2）化简g（x）的表达式，通过a＞0与a＜0利用函数的单调性集合M∩N≠Φ，求出a的范围，然后求实数a的取值范围．

解答：解：（1）由题意可知

2-2x+x2＞0 1+x 1-x ≥0

，解得-1≤x＜1，
所以函数的定义域为M=[-1，1）；
（2）g(x)=

ax

x-1

=a+

a

x-1

，
当a＞0时，g（x）在区间[2，4]上单调递减，
∴g（4）≤g（x）≤g（2）
即

4a

3

≤g(x)≤2a，所以N∈[

4a

3

，2a]，又因为M∩N≠∅，可得0＜a＜

3

4

，
当a＜0时，g（x） 区间[2，4]上是增函数，所以g（2）≤g（x）≤g（4）．
即

4a

3

≥g(x)≥2a，所以N=[2a，

4a

3

]．
又因为M∩N≠∅，可得-

3

4

≤a＜0，
综上实数a的取值范围{a|-

3

4

≤a＜0或0＜a＜

3

4

}．

点评：本题考查函数的定义域的求法，函数的值域的求法，函数的单调性的应用，分类讨论思想的应用，考查计算能力转化思想．