Question

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F分别是棱BC，CC₁上的点，CF=AB=2CE。AB：AD：AA₁=1：2：4。

（1）求异面直线EF与A₁D所成角的余弦值；
（2）证明AF⊥平面A₁ED；
（3）求二面角A₁-ED-F的正弦值。

Answer 1

解：（1）如图所示，建立空间直角坐标系，点A为坐标原点，设AB=1，依题意得D（0，2，0），F（1，2，1），A1（0，0，4）， （1）易得 于是 所以异面直线EF与A1D所成角的余弦值为； （2）易知 ，于是 因此，AF⊥EA1，AF⊥ED 又EA1∩ED=E， 所以AF⊥平面A1ED； （3）设平面EFD的法向量 则即 不妨令x=1，可得u=（1，2，-1） 由（2）可知为平面A1ED的一个法向量，于是 从而 所以二面角A1-ED-F的正弦值为。