Question

16．定义在R上的偶函数f（x）在（-∞，0]上是单调增函数，则不等式f（x+2）-f（2x+1）＞0的解集为（-∞，-1）∪（1，+∞）．

Answer 1

分析 由函数是偶函数可得f（x）在[0，+∞）上是单调减函数，把f（x+2）＞f（2x+1）转化为f（|x+2|）＞f（|2x+1|），然后利用单调性得到|x+2|＜|2x+1|，两边平方后求得答案．

解答 解：∵f（x）是偶函数，且在（-∞，0]上是单调增函数，
∴f（x）在[0，+∞）上是单调减函数，
由f（x+2）-f（2x+1）＞0，得f（x+2）＞f（2x+1），
即f（|x+2|）＞f（|2x+1|），
∴|x+2|＜|2x+1|，
两边平方得：x²+4x+4＜4x²+4x+1，
即3x²＞3，得x²＞1，∴x＜-1或x＞1．
∴不等式f（x+2）-f（2x+1）＞0的解集为（-∞，-1）∪（1，+∞）．
故答案为：（-∞，-1）∪（1，+∞）．

点评 本题考查函数的单调性和奇偶性，考查了数学转化思想方法，考查了不等式的解法，是中档题．