题目内容
已知函数f(x)=
，f（2）=1．
（1）求a的值； （2）求证：函数f（x）在（-∞，0）内是减函数．
| x+a |
| ax+a-2 |
（1）求a的值； （2）求证：函数f（x）在（-∞，0）内是减函数．
（1）由已知，得f(2)=
=1，
∴a=2．…（4分）
证明：（2）由（1）得f(x)=
=
+
(x≠0)，
设任意x1，x2∈（-∞，0），且x1＜x2．
则f(x1)-f(x2)=(
+
)-(
+
)=
．…（8分）
∵x1，x2∈（-∞，0），且x1＜x2．
∴x2-x1＞0，x1x2＞0，
∴f（x1）-f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2）．
所以，函数f（x）在（-∞，0）内是减函数．…（12分）
| 2+a |
| 2a+a-2 |
∴a=2．…（4分）
证明：（2）由（1）得f(x)=
| x+2 |
| 2x |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| x |
设任意x1，x2∈（-∞，0），且x1＜x2．
则f(x1)-f(x2)=(
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| x1 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| x2 |
| x2-x1 |
| x1x2 |
∵x1，x2∈（-∞，0），且x1＜x2．
∴x2-x1＞0，x1x2＞0，
∴f（x1）-f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2）．
所以，函数f（x）在（-∞，0）内是减函数．…（12分）
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