Question

已知函数f（x）=lg（

1

2x

+m•2^x+1）的定义域为R，试求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：将已知条件等价转化为：m＞-（2^x+

1

2x

）在实数范围内恒成立，利用基本不等式求出-（2^x+

1

2x

）的范围，即可求得
m的取值范围．

解答：解：由题意2^2x+m•2^x+1＞0对任意实数x都成立，即m＞-（2^x+

1

2x

）在实数范围内恒成立．
令g（x）=-（2^x+

1

2x

），则m大于函数g（x）的最大值．
∵2^x＞0，∴g（x）=-（2^x+

1

2x

）≤-2

2x• 1 2x

=-2，当且仅当2^x=

1

2x

，即x=0时，等号成立．
故函数g（x）的值域是（-∞，-2]．
∴m的取值范围是 （-2，+∞）．

点评：本题考查函数的定义域和值域的求法、函数的恒成立问题，基本不等式的应用，属于中档题．