Question

如图1-7，已知矩形ABCD中，AB∶BC=5∶6，点E在BC上，点F在CD上，EC= BC，FC=CD，FG⊥AE于G，求证:AG=4GE.

图1-7

Answer 1

思路分析:图中有直角三角形，应充分利用直角三角形的知识，设AB=5k，BC=6k(k＞0)，则EC=BC=k,FC=CD=AB=3k，得DF=2k，由勾股定理可得AE²=AB²＋BE²=50k²，EF²=EC²＋FC²=10k²，AF²=AD²＋DF²=40k²，所以AE²=EF²＋AF².由勾股定理逆定理得Rt△AFE，又因为FG⊥AE，具备双垂直的条件，问题的解决就有了眉目.

证明：∵AB∶BC=5∶6,∴设AB=5k,BC=6k(k＞0).

∴在矩形ABCD中，有CD=AB=5k,BC=AD=6k,∠B=∠C=∠D=90°.

∵EC=BC,∴EC=×6k=k.∴BE=5k.

∵FC=CD,∴FC=×5k=3k.∴DF=CD-FC=2k.

在Rt△ADF中，由勾股定理得AF²=AD²＋DF²=36k²＋4k²=40k².

同理，可得AE²=50k²,EF²=10k².

∴AF²＋EF²=40k²＋10k²=50k²=AE².∴△AEF是直角三角形.

∵FG⊥AE，∴△AFE∽△FGE.

∴EF²=GE·AE.

∵AE=,

∴GE=

∴4GE=k.

∴AG=AE-GE=k-k=k.∴AG=4GE.