Question

已知函数f(x)=1-

a

x

+ln

1

x

（a为实常数）．
（Ⅰ）当a=1时，求函数g（x）=f（x）-2x的单调区间；
（Ⅱ）若函数f（x）在区间（0，2）上无极值，求a的取值范围；
（Ⅲ）已知n∈N^*且n≥3，求证：ln

n+1

3

＜

1

3

+

1

4

+

1

5

+…+

1

n

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出函数定义域，当a=1时求出g′（x），只需解不等式g′（x）＞0，g′（x）＜0即可．
（Ⅱ）函数f（x）在区间（0，2）上无极值，则f′（x）≥0或f′（x）≤0，由此即可求出a的取值范围．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当a=1时，f（x）在（0，+∞）上的最大值为f（1）=0，得f（x）=1-

1

x

+ln

1

x

≤0≤0，即ln

1

x

≤

1-x

x

，令x=

n+1

n

适当变形即可证明．

解答：解：（I）当a=1时，g(x)=1-2x-

1

x

+ln

1

x

，其定义域为（0，+∞），g′（x）=-2+

1

x2

-

1

x

=

-2x2-x+1

x2

=

-(2x-1)(x+1)

x2

，，
令g′（x）＞0，并结合定义域知x∈(0，

1

2

)； 令g′（x）＜0，并结合定义域知x∈(

1

2

，+∞)；
故g（x）的单调增区间为（0，

1

2

）；单调减区间为(

1

2

，+∞)．
（II）f′(x)=

a

x2

-

1

x

=

a-x

x2

，
（1）当f′（x）≤0即a≤x在x∈（0，2）上恒成立时，a≤0，此时f（x）在（0，2）上单调递减，无极值；
（2）当f′（x）≥0即a≥x在x∈（0，2）上恒成立时，a≥2，此时f（x）在（0，2）上单调递增，无极值．
综上所述，a的取值范围为（-∞，0]∪[2，+∞）．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当a=1时，f′（x）=

1-x

x2

，当x∈（0，1）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；
当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
∴f（x）=1-

1

x

+ln

1

x

在x=1处取得最大值0．
即f（x）=1-

1

x

+ln

1

x

≤0，
∴ln

1

x

≤

1-x

x

，令x=

n

n+1

（0＜x＜1），则ln

n+1

n

＜

1

n

，即ln（n+1）-lnn＜

1

n

，
∴ln

n+1

3

=ln（n+1）-ln3=[ln（n+1）-lnn]+[lnn-ln（n-1）]+…+（ln4-ln3）
＜

1

n

+

1

n-1

+

1

n-2

+…+

1

3

．
故ln

n+1

3

＜

1

3

+

1

4

+

1

5

+…+

1

n

．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性、利用导数求函数最值问题，考查了运用知识解决问题的能力．