Question

已知函数f（x）=4x³-4ax，当x∈[0，1]时，关于x的不等式|f（x）|＞1的解集为空集，则满足条件的实数a的值为

 

．

Answer 1

分析：将x∈[0，1]时，关于x的不等式|f（x）|＞1的解集为空集，转化为当x∈[0，1]时，|f（x）|≤1恒成立，进一步转化为

4ax≤4x3+1 4ax≥4x3-1

，通过构造函数g（x）=x²+

1

4x

，h（x）=x²-

1

4x

，利用导数求得g（x）_min与h（x）_max，即可求得答案．

解答：解：依题意，当x∈[0，1]时，|f（x）|≤1恒成立，
∴-1≤f（x）≤1，即

4x3-4ax≥-1 4x3-4ax≤1

?

4ax≤4x3+1 4ax≥4x3-1

，
∵x∈[0，1]，当x=0时，显然成立；
当0＜x≤1时，

a≤ 4x3+1 4x a≥ 4x3-1 4x

恒成立，即

a≤x2+ 1 4x a≥x2- 1 4x

恒成立，
令g（x）=x²+

1

4x

，h（x）=x²-

1

4x

，
则

a≤[g(x)]min a≥[h(x)]max

．
∵当0＜x≤1时，g′（x）=2x-

1

4x2

=

8x3-1

4x2

=

(2x-1)(4x2+2x+1)

4x2

，
∴当0＜x＜

1

2

时，g′（x）＜0；
当

1

2

＜x≤1时，g′（x）＞0；
∴当x=

1

2

时，g（x）取到最小值，即g（x）_min=g（

1

2

）=

1

4

+

1

2

=

3

4

；
同理可得，h′（x）=2x+

1

4x2

＞0，h（x）=x²-

1

4x

在（0，1]上单调递增，
∴当x=1时，h（x）_max=h（1）=1-

1

4

=

3

4

．
∴

a≤ 3 4 a≥ 3 4

，
∴a=

3

4

．
故答案为：

3

4

．

点评：本题考查绝对值不等式的解法，着重考查等价转化思想与方程思想，考查恒成立问题，突出抽象思维、逻辑思维能力、运算能力的考查，属于难题．