Question

在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，已知向量

m

=（sinB，1-cosB）与向量

n

=（0，1） 的夹角为

π

6

，
求：（I） 角B 的大小；   （Ⅱ） 

a+c

b

的取值范围．

Answer 1

分析：（I）由题意向量

m

=（sinB，1-cosB）与向量

n

=（0，1） 的夹角为

π

6

，利用向量的夹角公式可以得到1-cosB=

2-2cosB

×

3

2

，解三角方程即可；
（II）由题意利用正弦定把

a+c

b

这个式子化为角A的三角函数式子，利用角A的范围及三角函数知识即可求得．

解答：解：（I）1-cosB=

2-2cosB

×

3

2

，1-cosB=

3

2

，cosB=-

1

2

，
∴0＜B＜π，B=

2π

3

．
（II）由正弦定理得：

a+c

b

=

sinA+sinC

sinB

=

2

3

[sinA+sin(

π

3

-A)]=

2

3

(sinA+

3

2

cosA-

1

2

sinA)=

2

3

(A+

π

3

)

∵0＜A＜

π

3

，∴

π

3

＜A+

π

3

＜

2π

3

，∴

3

2

＜sin(A+

π

3

)≤1，
∴1＜

a+c

b

≤

2 3

3

，故

a+c

b

的取值范围是（1，

2 3

3

]．

点评：此题考查了两向量平行的坐标表示的从要条件，还考查了解三角方程，正弦定理，已知角的范围求三角函数的值域．