Question

如图，在三棱锥P-ABC中，PA，PB，PC两两垂直，且PA=5，PB=4，PC=3．设点M为底面ABC内一点，定义f（M）=（m，n，p），其中m，n，p分别为三棱锥M-PAB、M-PBC、M-PCA的体积．若f（M）=（4，3x，3y），且ax-8xy+y≥0恒成立，则正实数a的取值范围是

[9，+∞）

．

Answer 1

分析：先根据三棱锥的特点求出其体积，然后利用新定义通过体积，推出建立x与y的关系，进而将恒成立问题转化成最值问题后，解之即可．

解答：解：∵PA、PB、PC两两垂直，且PA=5，PB=4，PC=3．
∴V _P-ABC=

1

3

×

1

2

×3×4×5=10=4+3x+3y
即x+y=2，且x，y为正数
若ax-8xy+y≥0恒成立，
则2（

1

x

+

a

y

）≥16恒成立
又∵（

1

x

+

a

y

）（x+y）=1+a+

y

x

+

ax

y

≥1+a+2

a

∴1+a+2

a

≥16
∴

a

≥3或

a

≤-5（舍去）
即a≥9
则正实数a的取值范围是[9，+∞）
故答案为：[9，+∞）

点评：本题主要考查了棱锥的体积，同时考查了基本不等式的运用，是题意新颖的一道题目，属于中档题．