Question

设x∈N满足(

1+x

x

)2013＜

2014

2013

．数列a₁，a₂，…，a₂₀₁₃是公差为x²⁰¹³，首项a1=(x+1)2x2012-1的等差数列； 数列b₁，b₂，…，b₂₀₁₃是公比为

1+x

x

，首项b1=(x+1)x2013的等比数列，求证：b₁＜a₁＜b₂＜…＜a₂₀₁₂＜b₂₀₁₃．

Answer 1

分析：确定数列的通项，利用归纳法证明 ai-bi≥x2013

2014-i

2013

， 1≤i≤2013，再证明归纳证明b_i+1＞a_i，i=1，2，…，2012，即可得到结论．

解答：证明：首先，ai=(x+1)2x2012-1+(i-1)x2013，-----------------（2分）
bi=(x+1)x2013(

1+x

x

)i-1=(x+1)ix2014-i．-----------------（4分）
bi+1-bi=x2013(

1+x

x

)i…（6分）
用归纳法证明 ai-bi≥x2013

2014-i

2013

， 1≤i≤2013．
由于a1-b1=x2013+x2012-1≥x2013，即i=1成立．…（8分）
假设 1≤i≤2012成立，则ai+1-bi+1=(ai+1-ai)-(bi+1-bi)+(ai-bi)=x2013-x2013(

1+x

x

)i+(ai-bi)
≥x2013-x2013(

1+x

x

)203+(ai-bi)≥-x2013

1

2013

+(ai-bi)≥-x2013

1

2013

+x2013

2013-i+1

2013

=x2013

2014-(i+1)

2013

．…（14分）
所以，a_i＞b_i，i=1，2，…，2013．
归纳证明b_i+1＞a_i，i=1，2，…，2012，首先 b₂-a₁=1＞0，
假设 1≤i≤2011成立，
则b_i+2-a_i+1=（b_i+2-b_i+1）-（a_i+1-a_i）+（b_i+1-a_i）=x2013(

1+x

x

)i+1-x2013+(b i+1-ai)＞0．…（17分）
故命题成立．

点评：本题考查等差数列与等比数列的综合，考查数学归纳法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．