Question

已知函数f（x）=e^-x（2x-a），a∈R．
（I）讨论函数f（x）的单调性；
（II）若关于实数x的方程f（x）=1在[

1

2

，2]上有两个不等实根，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出函数的导函数，令导函数大于0求出x的范围即为单调递增区间；令导函数小于0求出x的范围即为递减区间
（Ⅱ）方程f（x）=1即（2x-a）=e^x，分离出a，构造新函数g(x)=2x-ex，x∈[

1

2

，2]，利用导数求出g（x）的最大值及两个端点的值，得到a的范围．

解答：解：（Ⅰ） f'（x）=-e^-x（2x-a）+2e^-x=-e^-x（2x-a-2）…（3分）
当x＜

a+2

2

时，f'（x）＞0，当x＞

a+2

2

时，f'（x）＜0，…（5分）
∴f（x）在(-∞，

a+2

2

)上是增函数，在(

a+2

2

，+∞)上是减函数．…（6分）
（Ⅱ）方程f（x）=1即（2x-a）=e^x，
∴a=2x-e^x…（7分）
记g(x)=2x-ex，x∈[

1

2

，2]，
则g′(x)=2-ex，x∈[

1

2

，2]
当

1

2

＜x＜ln2时，g'（x）＞0；当ln2＜x＜2时，g'（x）＜0…（9分）
而g(

1

2

)=1-

e

＞g（2）=4-e²，g（ln2）=2ln2-2，…（12分）
∴1-

e

≤a＜2ln2-2…（13分）

点评：本题考查导数的符号与函数单调性的关系；利用导数求函数的最值；考查利用导数解决函数的性质及函数的图象，进一步能解决方程根的个数问题．