Question

已知对于任意实数x，均有f（

π

2

-x）+f（x）=0且f（π+x）=f（-x）成立，当x∈[0，

π

4

]时，有f（x）=cos2x，则f（

79π

24

）的值为（　　）

• A．

  6 - 2

  4

• B．

  6 + 2

  4

• C．

  2 - 6

  4

• D．-

  6 + 2

  4

Answer 1

分析：由已知，先推导出f（x）是以π为周期的函数．再将f（

79π

24

）转化为f（

7π

24

），再利用f（

π

2

-x）+f（x）=0得出f（

7π

24

）=f（

π

2

-

5π

24

）=-f（

5π

24

）=-cos（2×

5π

24

）=-cos

5π

12

，最后利用和角公式计算．

解答：解：由已知，f（

π

2

-x）+f（x）=0，即f（x）=-f（

π

2

-x），
可得f（-x）=-f（

π

2

+x），
又由f（π+x）=f（-x）①
所以f（π+x）=-f（

π

2

+x）②，
在②式中，以

π

2

+x代x，得出f（

3π

2

+x）=-f（π+x）③，
②③得出f（

3π

2

+x）=-f（π+x）=f（

π

2

+x），
所以f（π+x）=f（x），f（x）是以π为周期的函数．
f（

79π

24

）=f（

7π

24

）=f（

π

2

-

5π

24

）=-f（

5π

24

）
=-cos（2×

5π

24

）=-cos

5π

12

=-cos（

π

4

+

π

6

）
=-（cos

π

4

cos

π

6

-sin

π

4

sin

π

6

）
=-（

2

2

×

3

2

-

2

2

×

1

2

）
=

2 - 6

4

故选C

点评：本题考查抽象函数求值，考查转化计算．推理论证能力．得出周期性是本题关键和难点．