Question

设数列{a_n}的前n项和S_n，若对于任意的n∈N^*，都有S_n＝2a_n－3n．

(1)求数列{a_n}的首项与递推关系式a_n+1＝f(a_n)；

(2)先阅读下面的定理，若数列有递推关系：a_n+1＝Aa_n＋B，其中A、B为常数，且A≠1，B≠0，则数列{a_n－}是以A为公比的等比数列，请你在第(1)题的基础上应用本定理，求数列{a_n}的通项公式；

(3)求数列{a_n}的前n项和S_n．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)令n＝1，a1＝S1＝2a1－3，∴a1＝3． 　　又Sn+1＝2an+1－3(n＋1)，Sn＝2an－3n． 　　两式相减得an+1＝2an+1－2an－3， 　　∴an+1＝2an＋3． 　　(2)按照定理A＝2，B＝3，则＝－3， 　　∴{an＋3}是公比为2的等比数列，其首项为a1＋3＝6． 　　∴an＋3＝6×2n－1．∴an＝6×2n－1－3． 　　(3)Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an 　　＝(6×20－3)＋(6×21－3)＋(6×22－3)＋…＋(6×2n－1－3) 　　＝(6×20)＋(6×21)＋(6×22)＋…＋(6×2n－1)－3n 　　＝6×(20＋21＋22＋…＋2n－1)－3n 　　＝6×－3n＝6×2n－3n－6． 　　思路解析：(1)要建立an+1和an的关系，可由an+1＝Sn+1－Sn得出； 　　(2)给出了一个定理，需同学们自己阅读，考查了观察问题、研究问题的能力； 　　(3)可用拆项法求和．

提示：

解决此类问题需综合数列的有关知识，并要有较强的创新能力，同学们要加强这方面的练习．