Question

已知函数f（x）=-x³+ax²+bx+c在（-∞，0）上是减函数，在（0，1）上是增函数．
（1）求b的值，并求a的取值范围；
（2）判断f（x）在其定义域R上的零点的个数．

Answer 1

分析：（1）求出导函数，据已知条件中函数的单调性，判断出x=0是一个极值点，将x=0代入导函数得到函数值为0，求出b的值．将b的值代入f（x）中，利用f（x）在（0，1）上是增函数，判断出f′（x）=-3x²+2ax＞0在（0，1）上恒成立，列出不等式求出a的范围．
（2）利用函数在定义域内的单调性和最值研究零点的个数，对f（x）求导，找到单调区间，确定极值点，最后对极值点进行分类讨论则得到零点个数．

解答：解：（1）由已知得f′（x）=-3x²+2ax+b…（1分），
因为f（x）在（-∞，0）上是减函数，在（0，1）上是增函数，
所以f（x）在x=0处取得极小值，f′（0）=0…（2分），解得b=0…（3分），
又因为f（x）在（0，1）上是增函数，所以f′（x）=-3x²+2ax＞0，a＞

3

2

x…（4分），
当x∈（0，1）时，0＜

3

2

x＜

3

2

，所以a的取值范围是a≥

3

2

…（5分），
（2）由（1）得f/(x)=-3x(x-

2a

3

)，解f′（x）=0得x=0或x=

2a

3

(＞0)…（6分），

x	（-∞，0）	0	(0， 2a 3 )	2a 3	( 2a 3 ，+∞)
f′（x）	-	0	+	0	-
f（x）	递减	极小值	递增	极大值	递减

…（9分）
（i）①当f（0）=c＞0时，由上表知?x≤

2a

3

，f（x）＞0，x取某个充分大的实数（例如x1=|a|+|

3	c

|）时，f（x₁）＜0，f（x）在定义域上连续，所以f（x）在区间(

2a

3

，x1)上有一个零点，从而f（x）在其定义域R上有1个零点…（10分）；
②当f（0）=c=0时，f（x）在区间(

2a

3

，x1)上有一个零点，从而f（x）在其定义域R上有2个零点…（11分）；
③当f（0）=c＜0时，（ⅰ）若c=-

4

27

a3，则f(

2a

3

)=

4

27

a3+c=0，x取某个充分小的实数（例如x₂=-|a|）时，f（x₂）＞0，所以f（x）在区间（x₂，0）上有一个零点，从而f（x）在其定义域R上有2个零点…（12分）；
（ⅱ）若c＜-

4

27

a3，则f(

2a

3

)=

4

27

a3+c＜0时，由上表知?x≥0，f（x）＜0，f（x）在区间（x₂，0）上有一个零点，从而f（x）在其定义域R上有1个零点…（13分）；
（ⅲ）若-

4

27

a3＜c＜0，则f(

2a

3

)=

4

27

a3+c＞0时，f（x）在区间（x₂，0）、(0，

2a

3

)、(

2a

3

，x1)上各有一个零点，从而f（x）在其定义域R上有3个零点…（14分）；
综上所述，当c＞0或c＜-

4

27

a3时，f（x）在其定义域R上有1个零点；当c=0或c=-

4

27

a3时，f（x）在其定义域R上有2个零点；当-

4

27

a3＜c＜0时，f（x）在其定义域R上有3个零点．

点评：本题主要考查导数为0时取到函数的极值的问题、根的存在性及根的个数判断．这里多注意分类讨论的思想．利用导数研究函数的单调性，求解函数的单调区间、极值、最值问题，是函数这一章最基本的知识，也是教学中的重点和难点，学生应熟练掌握．