Question

【题目】已知函数f（x）=xlnx．
（1）不等式f（x）＞kx﹣ 对于任意正实数x均成立，求实数k的取值范围；
（2）是否存在整数m，使得对于任意正实数x，不等式f（m+x）＜f（m）ex恒成立？若存在，求出最小的整数m，若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：对于任意正实数x，不等式f（x）＞kx﹣ 恒成立，

即为k＜lnx+ ，x＞0，

令g（x）=lnx+ ，x＞0，则g′（x）= ﹣ = ，

在（0， ）上，g′（x）＜0，g（x）递减，

在（ ，+∞）上，g′（x）＞0，g（x）递增，

即有g（x）在x= 处取得极小值，且为最小值1﹣ln2，

则k＜1﹣ln2，

故实数k的取值范围是（﹣∞，1﹣ln2）

（2）解：∵f（m+x）＜f（m）ex恒成立，

∴（m+x）ln（m+x）＜mlnmex，

即 ＜ 恒成立，

令g（x）= ，g′（x）= ，

设p（x）=1+（1﹣x）lnx，p′（x）= ﹣1﹣lnx，而p′（1）=0且p′（x）递减，

∴x∈（0，1）时，p′（x）＞0，x∈（1，+∞）时，p′（x）＜0，

故p（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减；

又x→0，p（x）→﹣∞，p（1）=1＞0，x→+∞时，p（x）→﹣∞，

由零点的存在定理，p（x）=0在（0，1），（1，+∞）内各有一根x1＜1＜x2，

∴x∈（0，x1），g′（x）＜0，x∈（x1，x2），g′（x）＞0，x∈（x2，+∞），g′（x）＜0，

∴g（x）在（0，x1）递增，在（x1，x2）递减，在（x2，+∞）递增，

∵p（2）=1﹣ln2＞0，p（3）=1﹣2ln3＜0，故x2∈（2，3），

∴m=3时，g（x）在（3，+∞）递减，此时，g（3+x）＜g（3）恒成立，

若m=1，2，则g（x2）＞g（m），矛盾，

综上，存在最小正整数m=3

【解析】（1）对于任意正实数x，不等式f（x）＞kx﹣ 恒成立，即为k＜lnx+ ，x＞0，令g（x）=lnx+ ，x＞0，求出导数，求得单调区间，得到极小值也为最小值，即可得到k的范围；（2）问题转化为 ＜ 恒成立，令g（x）= 求出g′（x）= ，设p（x）=1+（1﹣x）lnx，通过讨论p（x）的单调性，判断出g（3+x）＜g（3）恒成立，从而求出满足条件的m的值即可．
【考点精析】关于本题考查的利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数，需要了解一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值才能得出正确答案．