Question

设函数f（x）是定义在（0，+∞）上的减函数，并且满足f（xy）=f（x）+f（y），f（

1

3

）=1，
（1）求f（1），f（

1

9

），f（9）的值，
（2）如果f（x）+f（2-x）＜2，求x的取值范围．

Answer 1

分析：（1）对题设条件中的恒等式进行赋值，依次可求出f（1），f（

1

9

），f（9）的值
（2）利用题设条件将f（x）+f（2-x）＜2这为f[x（2-x）]＜f（

1

9

），再利用函数f（x）是定义在（0，+∞）上的减函数解不等式．

解答：解：（1）令x=y=1，则f（1）=f（1）+f（1），∴f（1）=0（2分）
令x=3，y=

1

3

，则f（1）=f（3）+f（

1

3

），∴f（3）=-1
∴f（

1

9

）=f（

1

3

× 

1

3

）=f（

1

3

）+f（

1

3

）=2（4分）
∴f（9）=f（3×3）=f（3）+f（3）=-2（6分）
（2）∵f（x）+f（2-x）=f[x（2-x）]＜2=f（

1

9

），（8分）
又由函数f（x）是定义在（0，+∞）上的减函数得：

x(2-x)＞ 1 9 x＞0 2-x＞0

（11分）
解之得：x∈(1-

2 2

3

，1+

2 2

3

)．（13分）

点评：本题考查抽象函数及其应用，考查了根据恒等式的形式以及要求的值灵活赋值求函数值的能力，以及利用函数的性质解不等式的能力，求解本题的关键是恰当赋值，求解第二问时恰当的变形是解题的关键，在根据单调性转化时要注意转化的造价，不要忘记定义域的限制条件．