Question

已知函数f(x)＝a^x＋x²－xlna(a＞0，a≠1)．

（1）当a＞1时，求证：函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；

（2）若函数y＝|f(x)－t|－1有三个零点，求t的值；

（3）若存在x₁，x₂∈[－1，1]，使得|f(x₁)－f(x₂)|≥e－1，试求a的取值范围．

Answer 1

解：（1）．……………………………3分

由于，故当时，，所以，

故函数在上单调递增．…………………………………………………………5分

（2）当时，因为，且在R上单调递增，

故有唯一解．…………………………………………………………………7分

所以的变化情况如下表所示：

x		0
	－	0	＋
	递减	极小值	递增

       又函数有三个零点，所以方程有三个根，

而，所以，解得．…………………………10分

（3）因为存在，使得，

所以当时，．………11分

由（2）知，在上递减，在上递增，

所以当时，．………12分

而，

记，因为（当时取等号），

所以在上单调递增．

而，故当时，；当时，．即当时，；

当时，．……………………………………………………………14分

①当时，由；

②当时，由．

综上可知，所求的取值范围为．…………………………………16分