Question

设函数f（x）的定义域为D，如果对于任意的x₁∈D，存在唯一的x₂∈D使

f(x1) +f(x2)

2

=C（C为常数）成立，则称函数f（x）在D上的均值为C．给出下列四个函数：（1）y=x²，（2）y=sinx，（3）y=lgx，（4）y=3^x，则均值为2的函数为______．

Answer 1

对于函数y=x²，取任意的x₁∈R，

f(x1)+f(x2)

2

=

x 21 + x 22

2

=2，
x2=±

4- x 21

，有两个的x₂∈D．故不满足唯一存在的条件．
对于函数y=sinx，明显不成立，正弦函数的值域是[-1，1]，故不满足条件；
对于函数y=lgx，定义域为x＞0，值域为R且单调，显然必存在唯一的x₂∈D，使

f(x1)+f(x2)

2

=2成立．故成立．
对于函数y=3^x定义域为R，值域为y＞0．对于x₁=3，f（x₁）=27．
要使

f(x1)+f(x2)

2

=2成立，则f（x₂）=-23，不成立．
综上可知只有（3）正确，
故答案为：（3）