题目内容
设
=(sin2x-1，cos2x)，
=(3，
)
①若
的单位向量，求x；
②设f(x)=
•
，求f（x）的单调递减区间．
| a |
| b |
| 3 |
①若
| a |
②设f(x)=
| a |
| b |
考点：平面向量数量积的运算
专题：计算题,三角函数的图像与性质,平面向量及应用
分析：①运用向量模的定义，解方程，即可得到x；
②运用向量的数量积的坐标表示，结合两角和的正弦公式，化简f（x），再由正弦函数的单调减区间，解不等式即可得到．
②运用向量的数量积的坐标表示，结合两角和的正弦公式，化简f（x），再由正弦函数的单调减区间，解不等式即可得到．
解答：
解：①由
=1⇒sin2x=
，
∴2x=2kπ+
或2x=2kπ+
，
解得x=kπ+
或x=kπ+
(k∈z)；
②f(x)=
•
=3(sin2x-1)+
cos2x
=2
（
sin2x+
cos2x）-3
=2
sin（2x+
）-3，
由2kπ+
≤2x+
≤2kπ+
，解得kπ+
≤x≤kπ+
，k∈Z，
故f（x）单调递减区间为[kπ+
，kπ+
]，k∈Z．
| (sin2x-1)2+(cos2x)2 |
| 1 |
| 2 |
∴2x=2kπ+
| π |
| 6 |
| 5π |
| 6 |
解得x=kπ+
| π |
| 12 |
| 5π |
| 12 |
②f(x)=
| a |
| b |
| 3 |
=2
| 3 |
| ||
| 2 |
| 1 |
| 2 |
=2
| 3 |
| π |
| 6 |
由2kπ+
| π |
| 2 |
| π |
| 6 |
| 3π |
| 2 |
| π |
| 6 |
| 2π |
| 3 |
故f（x）单调递减区间为[kπ+
| π |
| 6 |
| 2π |
| 3 |
点评：本题考查平面向量的数量积的坐标公式及模的公式，考查三角函数的化简，考查正弦函数的单调区间及运用，属于中档题．
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