Question

①若函数f（x）=x³-3x+m在[0，2]上存在零点，则实数m的取值范围是

-2≤m≤2

②若函数f（x）=x³-3x+m在[0，2]上存在两个不同的零点，则实数m的取值范围是

0≤m＜2

．

Answer 1

分析：①利用导数求出函数f（x）的单调区间及极大值、极小值、f（0）、f（2），结合函数f（x）的图象，先求出函数f（x）=x³-3x+m在[0，2]上不存在零点时m的范围，然后求其补集即可；
②结合函数f（x）的图象，由函数f（x）=x³-3x+m在[0，2]上存在两个不同零点，可对f（0）、f（1）、f（2）的符号进行限制，由此可求出m的取值范围．

解答：解：①f′（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1），
当x＜-1或x＞1时，f′（x）＞0，当-1＜x＜1时，f′（x）＜0，
所以f（x）在（-∞，-1），（1，+∞）上单调递增；在（-1，1）上单调递减．
所以当x=-1时f（x）取得极大值f（-1）=2+m，当x=1时f（x）取得极小值f（1）=-2+m，f（0）=m，f（2）=2+m．
若函数f（x）=x³-3x+m在[0，2]上不存在零点，则有f（1）＞0或

f(0)＜0 f(2)＜0

即-2+m＞0或

m＜0 2+m＜0

，解得m＞2或m＜-2，
所以当函数f（x）=x³-3x+m在[0，2]上存在零点时，实数m的取值范围是[-2，2]．
故答案为：-2≤m≤2．
（2）若函数f（x）=x³-3x+m在[0，2]上存在两个不同的零点，由（1）知，

f(0)≥0 f(1)＜0 f(2)≥0

，即

m≥0 -2+m＜0 2+m≥0

，解得0≤m＜2．
故答案为：0≤m＜2．

点评：本题考查应用导数研究函数的单调性、极值问题，考查分析问题解决问题的能力以及数形结合思想的应用．