Question

【题目】设、分别是椭圆的左、右焦点.若是该椭圆上的一个动点，的最大值为1.

（1）求椭圆的方程；

（2）设直线与椭圆交于两点，点关于轴的对称点为(与不重合)，则直线与轴是否交于一个定点？若是，请写出定点坐标，并证明你的结论；若不是，请说明理由.

Answer 1

【答案】(1) ;(2)见解析.

【解析】分析：（1）由题意可得，，设，根据的最大值可得，从而得到椭圆的方程．（2）将直线方程代入椭圆方程消去x后得到关于的二次方程，设，，则，则可得经过点的直线方和为，令，结合根与系数的关系可得，从而可得直线与轴交于定点．

详解：（1）由题意得，，，

∴，．

设，则

，

∵，

∴当，即点为椭圆长轴端点时，有最大值1，

即，解得，

故所求的椭圆方程为．

（2）由得消去x整理得，

显然．

设，，则，

故，.

∴经过点，的直线方和为，

令，则，

又，，

∴，

即当．

∴直线与轴交于定点．