Question

（2013•徐州一模）已知数列{a_n}满足an+1=

1

2

a

2 n

-

1

2

nan+1  (n∈N*)，且a₁=3．
（1）计算a₂，a₃，a₄的值，由此猜想数列{a_n}的通项公式，并给出证明；
（2）求证：当n≥2时，

a

n n

≥4nn．

Answer 1

分析：（1）由an+1=

1

2

a

2 n

-

1

2

nan+1  (n∈N*)，且a₁=3，分别令 n=1，2，3即可求解，进而可猜想，然后利用数学归纳法进行证明即可
（2）由（1）可得a_n=n+2，从而有ann=（n+2）ⁿ，利用二项式定理展开后即可证明

解答：解：（1）∵an+1=

1

2

a

2 n

-

1

2

nan+1  (n∈N*)，且a₁=3．
∴a₂=4，a₃=5，a₄=6
猜想a_n=n+2
证明：①当n=1时显然成立
②假设n=k时（k≥1）时成立，即a_k=k+2
则n=k+1时，a_k+1=

1

2

ak2-

1

2

kak+1=

1

2

(k+2)2-

1

2

(k+1)(k+2)+1
=

1

2

(k+2)+1即n=k+1时命题成立
综上可得，a_n=n+2
证明：（2）∵a_n=n+2，n≥2
∴ann=（n+2）ⁿ=

C

0 n

•nn+

2C

1 n

•nn-1+

4C

2 n

•nn-2+…+

C

n n

•2n
≥

C

0 n

•nn+

2C

1 n

•nn-1+

4C

2 n

•nn-2
=5nⁿ-2n^n-1=4nⁿ+n^n-1（n-2）≥4nⁿ，即证

点评：本题主要考查了数列的递推公式在求解数列的通项综的应用及归纳法的应用，解答（2）的关键是二项展开式的应用．