Question

【题目】如图，点是菱形所在平面外一点， ， 是等边三角形， ， ， 是的中点.

（Ⅰ）求证： 平面；

（Ⅱ）求证：平面平面；

（Ⅲ）求直线与平面的所成角的大小.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析; （Ⅱ）见解析; （Ⅲ）.

【解析】试题分析：

（Ⅰ）要证明与平面平行，只要找到一条平行线，由于是中点， 与的交点是中点，则必有，从而有线面平行；

（Ⅱ）要证面面垂直，就要证线面垂直，从图形中知，在，计算后可得，从而于是有线面垂直，从而得面面垂直；

（Ⅲ）易证平面，从而知为在平面内的射影，因此就是直线与平面所成的角，在中求解可得．

试题解析：

（Ⅰ）证明：连接.

在菱形中， 为中点，且点为中点，

所以，

又平面， 平面.

所以平面

（Ⅱ）证明：在等边三角形中，

， 是的中点，所以.

在菱形中， ， ，

所以.

又，所以，所以.

在菱形中， .

又，所以平面.

又平面，

所以平面平面.

（Ⅲ）因为平面， 平面，所以

又因为， 为中点，所以

又，所以平面，则为直线在平面内的射影，

所以平面为直线与平面的所成角

因为，所以，

在中， ，所以

所以直线与平面的所成角为.