Question

已知双曲线C的中心在原点，抛物线y²=8x的焦点是双曲线C的一个焦点，且双曲线过点C（

2

，

3

）．
（1）求双曲线C的方程；
（2）设双曲线C的左顶点为A，右焦点为F，在第一象限内任取双曲线上一点P，试问是否存在常数λ（λ＞0），使得∠PFA=λ∠PAF恒成立？并证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）先求抛物线的焦点为F（2，0），从而设双曲线方程，再将点（

2

，

3

）代入，可求双曲线C的方程；
（2）先假设成立，由当PF⊥x轴时，猜想结论λ=2；以此作为条件，再进行一般性探求与证明，证明当PF与x轴不垂直时∠PFA=2∠PAF成立．

解答：解：（1）抛物线焦点为F（2，0），设双曲线方程为

x2

4-b2

-

y2

b2

=1，将点（

2

，

3

）代入得b²=3，
所以双曲线方程为x2-

y2

3

=1．
（2）当PF⊥x轴时，P（2，3），|AF|=1+2=3，∴∠PFA=90°，∠PAF=45°，此时λ=2．
以下证明当PF与x轴不垂直时∠PFA=2∠PAF成立．
设P（x₀，y₀），则k_PA=tan∠PAF=

y0

x0+1

，kPF=-tan∠PFA=

y0

x0-2

．
tan2∠PAF=

2kPA

1-kPA2

=

2(x0+1)y0

(x0+1)2-y02

．由

x

2 0

-

1

3

y

2 0

=1得y₀²=3（x₀²-1）代入上式，
得tan2∠PAF=

2y0

x0+1-3(x0-1)

=-

y0

x0-2

=tan∠PFA恒成立．∵∠PFA∈(0，

π

2

)∪(

π

2

，

2π

3

)，∠PAF∈(0，

π

4

)∪(

π

4

，

π

3

)，∴∠PFA=2∠PAF恒成立．

点评：本题考查利用待定系数法求双曲线的标准方程，考查存在性问题，通过假设存在，转化为封闭型命题进行求解．