Question

已知曲线C上任意一点M到点F（0，1）的距离比它到直线l:y=-2的距离小1.

（1）求曲线C的方程；

（2）过点P(2,2)的直线m与曲线C交于A,B两点,设=λ.

①当λ=1时,求直线m的方程；

②当△AOB的面积为4时（O为坐标原点），求λ的值.

Answer 1

（1）解法一：设M(x,y),则由题设得|MF|=|y+2|-1，

即=|y+2|-1.

当y≥-2时,=y+1,化简得x²=4y；

当y＜-2时,=-y-3,

化简得x²=8y+8与y＜-3不合.

故点M的轨迹C的方程是x²=4y.

①解法二：∵点M到点F(1,0)的距离比它到直线l:y=-2的距离小于1，

∴点M在直线l的上方.

点M到F（1，0）的距离与它到直线l′:y=-1的距离相等,

∴点M的轨迹C是以F为焦点,l′为准线的抛物线.

∴曲线C的方程为x²=4y.

（2）解：当直线m的斜率不存在时，它与曲线C只有一个交点，不合题意，

设直线m的方程为y-2=k(x-2),即y=kx+(2-2k)，

代入x²=4y，得x²-4kx+8(k-1)=0.（☆）

Δ=16(k²-2k+2)＞0,对k∈R恒成立,∴直线m与曲线C恒有两个不同的交点.

设交点A，B的坐标分别为A(x₁,y₁),B(x₂,y₂)，

则x₁+x₂=4k,x₁x₂=8(k-1).

①由=λ,且λ=1,得点P是弦AB的中点，

∴x₁+x₂=4,则4k=4,得k=1.∴直线m的方程是x-y=0.

②∵|AB|===4,

点O到直线m的距离d=，

∴S_△ABO=|AB|·d=4|k-1|=4.

∵S_△ABO=4,∴4=4.

∴(k-1)⁴+(k-1)²-2=0,(k-1)²=1或(k-1)²=-2（舍去）.∴k=0或k=2.

当k=0时,方程（☆）的解为±2.若x₁=2,x₂=-2,则λ==3-2;

若x₁=-2,x₂=2,则λ==3+2;13分当k=2时,方程（☆）的解为4±2.

若x₁=4+2,x₂=4-22,则λ==3+2;

若x₁=4-2,x₂=4+22,则λ==3-2;∴λ=3+2或λ=3-2.