Question

正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中,M、N、E、F四点分别是A₁B₁,A₁D₁,B₁C₁,C₁D₁的中点,

求证:(1)E、F、D、B四点共面;

(2)平面AMN∥平面BDEF.

Answer 1

证明:如图,

(1)∵E、F为B₁C₁、C₁D₁的中点,

∴EF∥B₁D₁.又面A₁B₁C₁D₁∥面ABCD,

面ABCD∩面BDD₁B=BD,面A₁B₁C₁D₁∩面BDD₁B₁=B₁D₁,故BD∥B₁D₁.

∴EF∥BD,即E、F、B、D四点共面.

(2)∵FMA₁D₁AD,

∴FMAD为平行四边形,

∴AM∥DF.

∴AM∥平面BDFE.

同理,可得AN∥平面BDFE,

又AM∩AN=A,

∴平面AMN∥平面BDFE.