Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b≥0），其离心率为

4

5

，两准线之间的距离为

25

2

．
（1）求a，b之值；
（2）设点A坐标为（6，0），B为椭圆C上的动点，以A为直角顶点，作等腰直角△ABP（字母A，B，P按顺时针方向排列），求P点的轨迹方程．

Answer 1

分析：（1）根据椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b≥0），其离心率为

4

5

，两准线之间的距离为

25

2

，我们可以得到几何量之间的关系，由此可以求a，b之值；
（2）解法一：利用等腰直角△ABP条件，寻找B与P坐标之间的关系，利用B为椭圆C上的动点，可求动点P的轨迹方程；
解法二：利用圆的参数方程，寻找B与P坐标之间的关系，利用B为椭圆C上的动点，可求动点P的轨迹方程．

解答：解：（1）设c为椭圆的焦半径，则

c

a

=

4

5

，

a2

c

=

25

4

，于是有a=5，c=4，∴b=3．
（2）解法一：设B点坐标为（s，t），P点坐标为（x，y）．
于是有

AB

=(s-6，t)，

AP

=(x-6，y)．
因为

AB

⊥

AP

，所以有（s-6，t）（x-6，y）=（s-6）（x-6）+ty=0．           ①
又因为△ABP为等腰直角三角形，所以有|AB|=|AP|，即

(s-6)2+t2

=

(x-6)2+y2

．              ②
由①推出s-6=-

ty

x-6

⇒(s-6)2=

t2y2

(x-6)2

，代入②得t²=（x-6）²
从而有 y²=（s-6）²，即s=6+y（不合题意，舍去）或s=6-y．
代入椭圆方程，即得动点P的轨迹方程

(x-6)2

9

+

(y-6)2

25

=1．
解法二：设B（x₁，y₁），P（x，y），|AB|=r，则以A为圆心，r为半径的圆的参数方程为

x=6+rcosα y=rsinα

．
设AB与x轴正方向夹角为θ，B点的参数表示为

x1=6+rcosθ y1=rsinθ

，
P点的参数表示为

x=6+rcos(90°-θ) y=rsin(90°-θ)

，即

x=6+rsinθ y=-rcosθ

．
从上面两式，得到

x1=6-y y1=x-6

．
又由于B点在椭圆上，可得

(x-6)2

9

+

(y-6)2

25

=1．
此即为P点的轨迹方程．

点评：椭圆的性质的灵活运用，是我们思路的关键，利用代入法求解两动点的轨迹问题，是我们解决这类问题的常用方法．